TEMA: LOS PROCESOS DE LOS NIÑOS EN LA
ADQUISICIÓN DE LAS
NOCIONES MATEMÁTICAS BÁSICAS EN EL
PREESCOLAR.
Adriana González y Edith Weinstein
La medida y sus magnitudes
Evolución de la noción de medida en el
niño
El medir es un acto complejo, pues
implica, como ya hemos dicho, determinar el número de veces que una unidad,
tomada como medida, está incluida en el objeto a medir.
A fin de poder plantear situaciones que
permitan, a los niños, construir conocimientos relacionados con la medida,
consideramos importante analizar la evolución de la adquisición de la noción de
medida.
Los trabajos de Piaget son una gran
contribución para comprender el proceso de desarrollo de las nociones de medida
en el niño. Estos estudios consideran que los principios de conservación y de transitividad
están ligados a la noción de medida.
Ahora bien, los procesos enunciados son
la base de la noción de medida. Pero, ¿cómo llega el niño a construir esta
noción?. La construcción de la noción de medida es un proceso continuo que requiere
un desarrollo, un transito desde las mediciones perceptivas, basadas en
impresiones sensoriales hasta llegar a la medición convencional. En este
proceso podemos diferenciar las siguientes etapas.
A) COMPARACIONES PERCEPTIVAS
Se caracterizan por la ausencia de
instrumento de medición, pues los niños, al medir usan únicamente estimaciones
de tipo visual.
Por ejemplo: frente a dos trozos de
papel, el niño. para determinar cuál es más grande, los observa e indica uno de
ellos, apoyándose exclusivamente en la vista.
B) DESPLAZAMIENTO DE OBJETOS
Es en esta etapa en la cual el niño
comienza a desplazar los objetos a fin de compararlos, y a darse cuenta,
también, de que puede utilizar algún elemento intermedio como instrumento de medición.
Es así como:
*En
un primer momento desplaza los objetos a comparar y decide a partir de la
estimación visual.
*En
un segundo momento utiliza un elemento intermedio de medición.
Inicialmente usa como elemento
intermedio partes de su propio cuerpo, por ejemplo: manos, pies, brazos. Posteriormente
incorpora elementos externos, como: sogas, cintas, lápices, etc. Retomando el ejemplo
anterior, el niño, ante los trozos de papel.
C) INICIO DE LA CONSERVACIÓN Y
TRANSITIVIDAD
El niño al llegar a este momento ha
logrado la utilización de elementos intermedios. El logro de la actual etapa se
centra en decidir cuál es el elemento intermedio más conveniente.
Podemos diferenciar dos momentos:
· en un primer momento elige un elemento intermedio, sin
evaluar cual es el más conveniente. en un segundo momento avalúa qué elemento
intermedio resulta más apropiado. Comienza a comprender que hay relación entre
el objeto a medir y la unidad más conveniente a utilizar.
D) CONSTITUCIÓN DE LA UNIDAD
En esta etapa se obtiene como resultado
de la medida un número que representa la cantidad de veces en que la unidad
elegida se desplaza en el objeto a medir, cubriéndolo en su totalidad.
La medida en la sala
Tradicionalmente la medida no se
incluyó en forma intencional como un contenido a ser enseñado en el Nivel
inicial. Se trabajaban sistemáticamente nociones relacionadas con distancia, longitud,
peso, etc.
Por ejemplo, se pedía al niño que
diferenciara relaciones del tipo: “cerca-lejos”, “largo-corto”,
“pesado-liviano”.
Estas relaciones se abordaban en forma
dicotómica, con una mirada más cualitativa que cuantitativa, desde un planteo
descriptivo de la realidad, sin problematizarla.
El uso de las unidades no
convencionales obedece a que el niño realiza estimaciones y comparaciones de
tipo visual y con elementos intermedios de su cuerpo y del entorno sin poder comprender
aún el significado y el uso de las unidades de medida convencionales.
El jardín debe propiciar un
acercamiento de los niños a los instrumentos de medida socialmente reconocidos
en contextos sociales de uso.
Si bien el niño puede usar dichos
instrumentos, no lo hace de manera convencional, no comprende las partes
constitutivas de los mismos (dm, cm, mm, ó kg, g). Lee, en ellos, los números
de igual forma que en la banda numérica, no comprende que 23 en la balanza es diferente
a 23 en una regla o en un calendario.
Longitud
La unidad de las medidas de longitud es
el metro. Cada unidad de orden superior es 10 veces mayor que la del inmediato
inferior.
Por ejemplo: el decámetro (dam) es 10
veces superior al metro, mientras que el decímetro (dm) es 10 veces inferior a
él.
Peso
La unidad de las medidas de peso es el gramo.
Cada unidad de orden superior es 10 veces mayor que a del inmediato
inferior.
Por ejemplo: el decagramo (dag) es 10
veces superior al gramo, mientras que el decigramo (dg) es 10 veces inferior a
él.
Capacidad
La unidad de las medidas de capacidad
es el litro. Cada unidad de orden superior es 10 veces mayor que la del
inmediato inferior.
Por ejemplo: el decalitro (dal) es 10
veces superior al litro, mientras que el decilitro (dl) es 10 veces inferior a
él.
* * *
ENSEÑANZA
DE LA TOPOLOGIA Y GEOMETRIA EN LOS NIVELES ELEMENTALES
Vidal Costa, E., De la torre Fernandez, E.
INTRODUCCIÓN
En las últimas décadas la Matemática ha progresado
considerablemente desbordando su cauce tradicional e inundando, por primera
vez, extensas zonas del conocimiento, zonas que, al recibir el influjo de la
matemática se fortalecieron y desarrollaron.
Desde
los niveles elementales la reforma de los programas y los métodos ha sido
espectacular: nuevos temas, planteamientos, enfoques, etc. Una de las partes
esenciales de la Matemática que bastantes años después de esta reforma
educativa todavía no ha encontrado el sitio adecuado es la Geometría. Su
paulatina desaparición de los niveles básicos ha ido en aumento y la
preocupación por este tema se manifiesta en varios trabajos y congresos (Guzmán
Ozámiz 1983, Howson 1973, Vollrath 1976).
Tal
como afirma Meserve (Howson, 1973), nosotros pensamos que la Geometria es
fundamental en el estudio de la matemática a cualquier nivel y vital para el
uso efectivo o el estudio de cualquier rama de la Matemática. Y, en particular,
cremos que ((juega un papel cada vez más importante en los modernos programas
de la enseñanza de la matemática elemental)) (UNESCO, 1973).
A
lo largo de este trabajo comentaremos algunos planteamientos y cambios
recientes en la enseñanza de la Topología y de la Geometria en los primeros
niveles, dividiéndolo en dos partes:
a)
Contenidos:
En
cuanto a los contenidos que deben enseñarse en la Matemática elemental nos
encontramos, aunque parezca paradójico, con una parte moderna de la matemática,
la Topología, la cual «según algunos)) (Piaget e Inhelder 1956, Sauvy 1972) es
el punto de arranque.
El
niño, a lo largo de sus juegos, tiene ocasión de familiarizarse con la vivencia
topológica; sin embargo, estas adquisiciones se realizan en un orden disperso y
son numerosas las lagunas. Si el niño posee solamente una colección de imágenes
aisladas le es imposible alcanzar un pensamiento geométrico superior. Para
superar la etapa imaginativa como base del pensamiento representativo y poder
construir y transformar figuras espaciales, necesita manejar objetos, cuyo uso
continuado conduce al descubrimiento de relaciones y éstas, posteriormente, se
hacen leyes de Geometría.
Según
Piaget-Inhelder (1956), aproximadamente a partir de los 6 años
los conceptos topológicos van transformándose lentamente en conceptos
proyectivos y euclideos.
El
espacio proyectivo aparece, psicológicamente cuando un objeto empieza a ser
considerado mentalmente no aislado, sino en relación a un punto de vista; el
niño comienza entonces a apreciar cómo se presentan los objetos cuando son
contemplados desde diferentes posiciones.
b)
Didáctica:
En
los niveles elementales, la mejor forma de aproximarse a la Matemática consiste
en hacer, construir y descubrir sobre la experiencia. Esto conducirá de lo
particular a lo general (Dienes, 1970). Las nociones espaciales no pueden
aislarse de lcs otros temas y deben ser experimentadas en cada año de la
escuela, mediante las experiencias y el uso del material didáctico adecuado
(Dienes y Golding, 1967).
En
el parvulario, la enseñanza debe dedicarse mucho más a la formación de capacidades
e iniciación de conceptos que a la adquisición de hechos.
TOPOL~GICOS:
Las
primeras representaciones del espacio que el niño se va a formar van a partir
de las percepciones elementales correspondientes a las relaciones de
proximidad, separación, orden, contorno y continuidad. Para agilizar la
interiorización de dichas percepciones se pueden proponer las sigdientes
actividades:
Reconocimiento
de formas por el sentido del tacto exclusivamente.
Dibujar
determinadas figuras.
Los
más pequeños descuidarán las relaciones proyectivas y euclideas; sólo a partir
de los 8 años tendrán en cuenta las proporciones y la distancia.
2.
PARA DESARROLLAR CONCEPTOS
PROYECTIVOS:
En
el libro de Dienes y Golding (1967) encontramos una serie de fichas de trabajo
en relación con lo que llaman ((geometría de las sombras)). La observación de
las sombras que proyectan diversos objetos da lugar al estudio de las
transformaciones inversas, la semejanza, la convexidad, las escalas, etc.
3.
PARA DESARROLLAR CONCEPTOS
EUCLIDEOS:
Podemos
decir que una propiedad euclidea es aquella que permanece invariante al
proyectar una figura plana, mediante un haz de rayos paralelos, sobre un plano
paralelo al plano de la figura. Esto ya nos puede sugerir varias actividades,
proyectando figuras y tomando como foco al Sol.
Antes
de entrar en la práctica de las transformaciones
euclideas,
podemos plantear con los niños alguna discusión acerca de la idea de ángulo y
de dirección. Esto da lugar a varias actividades como recorrer caminos sobre el
suelo, estudiar los cambios de dirección en un cruce de autopistas, etc
Los
primeros ejercicios en torno a esta transformación serán a base de doblar papel
y calcar. Luego haremos observar al nirio el efecto producido al colocar frente
a la figura un espejo o dos paralelos. Si colocamos ahora los dos espejos
verticalmente, formando diferentes ángulos, podemos engendrar las simetrías y
los diferentes giros de la figura y también estudiar sus ejes de simetría.
* * *
EL DESARROLLO DE LA NOCIÓN DE ESPACIO EN EL NIÑO DE EDUCACIÓN INICIAL
Jeannett Castro Bustamante
En el Documento Normativo que registra al Currículo Básico Nacional del nivel de Educación Inicial (MECD, 2001), se integran tales aspectos en función de su «pertinencia y adecuación al nivel»; con ello, lo que hasta entonces se llamaba Educación Pre-escolar, pasa a denominarse Educación Inicial.
Desde este referente, la Educación Inicial ...«es aquella que busca garantizar el desarrollo integral infantil bajo la concepción del niño y la niña como seres sociales, integrantes de una familia y una comunidad, que posee características personales, sociales, culturales y lingüísticas particulares, que aprenden en un proceso constructivo y relacional con su medio» (MECD,2001;4)
Así, el desarrollo del niño/niña se concibe desde un enfoque integral que debe favorecer el aspecto físico, social y emocional para lo cual, el docente aparece como un «mediador» y «propiciador» de experiencias de aprendizaje significativas, que permitan al niño/niña avanzar en su formación.
En la primera etapa de la vida, esta apreciación de la Física Moderna, encaja perfectamente; en un principio nuestra percepción muestra entremezclada, las nociones temporales y las espaciales. Así por ejemplo, una persona alta representa a un adulto, mientras que una persona baja representa un niño; es decir, en nuestra percepción el tiempo y el tamaño (espacio) se asocian indisolublemente.
El docente de los primeros años tiene bajo su responsabilidad la selección y desarrollo de itinerarios y actividades escolares que favorezcan en los niños su conocimiento geométrico y el desarrollo de su capacidad de representación; «El período preescolar es esencialmente el momento del progreso de la habilidad del niño para usar representaciones.
LOS TRES TIPOS DE ESPACIO
v El Espacio Euclidiano: En la época de los griegos y a su afán por establecer un sistema de demostración y razonamiento fundamentado en la «deducción» y en la «formalidad» del pensamiento. Este método busca determinar la verdad de nuevos conceptos, deducidos de otros anteriores, que han sido aceptados como conceptos e ideas abstractas absolutamente ciertas. Todo este sistema de razonamiento encontró su mejor expresión en la Geometría y en Euclides, su mayor exponente.
Además de un método de razonamiento deductivo nos proporciona todo un sistema de representación formal de los cuerpos y figuras geométricas que dibujan la realidad. La Geometría Euclidiana, también conocida como «Métrica», trata del estudio y representación de longitudes, ángulos, áreas y volúmenes como propiedades que permanecen constantes, cuando las figuras representadas son sometidas a transformaciones «rígidas»; es decir, movimientos en el plano horizontal o verticalmente, giros sobre alguno de sus ejes.
v El Espacio Proyectivo: La necesidad de hacer representaciones cada vez más realistas, alejadas de los prototipos que inundaban el mundo místico religioso, hizo que los pintores del renacimiento y sus etapas ulteriores, hicieran uso de las líneas, puntos y figuras geométricas para plasmar en sus cuadros el espacio y la profundidad. El espacio proyectivo comprende la representación de transformaciones en las cuales, a diferencia de lo que ocurre en las de tipo euclidiano, las longitudes y los ángulos experimentan cambios que dependen de la posición relativa entre el objeto representado y la fuente que lo plasma.
v El espacio Topológico: Las experiencias expresadas mediante el reconocimiento y representación gráfica de a cercamientos, separación, orden, entorno y continuidad representan experiencias de carácter «Topológico». Las transformaciones sufridas por una figura original son tan profundas y generales que alteran los ángulos, las longitudes, las rectas, las áreas, los volúmenes, los puntos, las proporciones; no obstante, a pesar de ello algunas relaciones o propiedades geométricas permanecen invariables. Las relaciones espaciales que determinan la proximidad o acercamiento, la separación o alejamiento entre puntos y/o regiones, la condición de cierre de un contorno, la secuencia, continuidad o discontinuidad de líneas, superficies o volúmenes constituyen propiedades geométricas que se conservan en una transformación de carácter Topológico.
La Noción de Espacio en el Niño:
La noción de espacio, aun cuando está presente desde el nacimiento, cobra fuerza en la medida en que el niño/niña progresa en la posibilidad de desplazarse y de coordinar sus acciones (espacio concreto), e incorpora el espacio circundante a estas acciones como una propiedad de las mismas.
De acuerdo con Piaget la noción de espacio se construye paulatinamente siguiendo el orden que parte de las experiencias: Topológicas, Proyectivas y Euclidianas, contrario al orden en que históricamente fueron formalizadas las respectivas geometrías.
En una primera etapa, el espacio del niño/niña se reduce a las posibilidades que le brinda su capacidad motriz; de allí que la noción correspondiente, se denomina «espacio perceptual» y tiene durante largo tiempo, al cuerpo como centro principal de referencia.
Durante esta etapa priva el carácter «concreto del espacio», por lo que no se encuentra suficientemente interiorizado, para ser sometido a operaciones mentales. Hacia finales de esta etapa el niño percibe las relaciones espaciales entre las cosas pero no se las representa todavía en ausencia de contacto directo. (de la Torre y Gil, s.f; 110).Aproximadamente a partir de los dos años, las relaciones espaciales más sencillas se expresan mediante palabras como: arriba, abajo, encima, debajo, más arriba, más abajo, delante, detrás; dichas expresiones contribuyen grandemente a alcanzar las nociones espaciales. Estas categorías preceptúales son favorecidas por experiencias de carácter topológico, que, como ya se ha indicado, representan transformaciones en las que permanecen constantes sólo algunas propiedades geométricas como la delimitación y pertenencia de los puntos interiores y exteriores a una figura cerrada que sufre una fuerte transformación o la secuencia de los puntos correspondientes a su contorno.
En esta etapa el niño no puede distinguir un círculo de un cuadrado porque ambas son figuras cerradas, pero si las puede diferenciar de la figura de una herradura. Posteriormente logra distinguir líneas curvas de rectas y figuras largas de cortas, así como también diferenciar el espacio interior y exterior de una frontera dada o determinar posiciones relativas al interior de un orden lineal.
Las relaciones topológicas que establece el niño durante esta primera etapa, permiten la constitución de una geometría del objeto respecto a su espacio; es decir, una geometría de carácter singular.
En la primera instancia, el niño necesita estar en presencia del objeto para poder representarlo; luego puede tomar sólo una parte del objeto real como índice de su representación (por ejemplo, una huella permite la reconstrucción mental de un perro que pasó por allí) y finalmente, puede evocar y hacer representaciones mentales, no solo en ausencia del objeto o situación, sino diferidas en el tiempo. Adicionalmente, no debemos olvidar que las representaciones enácticas (gestos, sonidos, movimientos,…), icónicas y simbólicas, que según Bruner (en Miranda, Fortes y Gil, 1998) filogenéticamente se adquieren en este mismo orden, constituyen para el niño/niña un sólido sistema de representación adecuado para codificar y transformar información.
Alrededor de los seis años aproximadamente, etapa en la que el niño/niña se incorpora al segundo nivel de escolaridad formal, los conceptos topológicos comienzan a transformarse en conceptos proyectivos que permiten la construcción de una geometría del espacio exterior al niño/niña; en otras palabras, la «descentración» le permite establecer la representación de su espacio circundante en la que los ejes adelante-atrás, izquierda-derecha dejan de ser absolutos; es decir, van siendo coordinados en la medida en que se efectúan operaciones mentales que permiten al niño/niña ver los objetos desde otro punto de vista.
Así, las transformaciones proyectivas, permiten al niño /niña visualizar los cambios que sufren ángulos y longitudes en la representación del objeto observado; por ejemplo cuando dibujan un paisaje con los árboles cada vez más pequeños, reflejan la profundidad y el alejamiento, mediante los cambios en las longitudes y los ángulos que contienen, mientras que las líneas, puntos y proporciones permanecen invariables.
Paralelamente a los conceptos proyectivos, los conceptos topológicos se transforman también en conceptos Euclidianos, lo que equivale a decir que el niño comienza a percibir los objetos de su espacio exterior no como algo estático, sino como objetos móviles; por ejemplo, puede describir y dibujar la trayectoria del recorrido de un automóvil (no sólo su punto de partida y llegada como ocurría antes); comprender la congruencia de un cuerpo al sufrir un cambio rígido (movimiento, rotación, traslado), conserva las propiedades de longitud, ángulos, áreas y volúmenes.
